Neste trabalho mostramos através da solução analítica da equação da onda no tempo e do método de expansão rápida (REM) que é possível obter a solução da equação da onda que utiliza esquemas de diferenças-finitas de qualquer ordem no tempo. Além disso, demonstramos que a grande vantagem do REM é que o método permite usar qualquer intervalo de amostragem temporal para realizar a extrapolação do campo de ondas, enquanto que o método de diferenças finitas impõe limites ao intervalo usado, devido à condição de estabilidade e à dispersão numérica. Fizemos também uma análise das aproximações em séries de Taylor e em polinômios de Chebyshev para a função cosseno que aparece na solução analítica da equação da onda no tempo. E finalizamos este trabalho mostrando o desempenho dos métodos numéricos na migração reversa no tempo pós e pré-empilhamento e demonstramos que o REM, combinado com o método espectral para calcular as derivadas espaciais, pode ser usado para obter resultados numericamente estáveis e com menor custo computacional do que um método de extrapolação do campo de ondas no tempo com um esquema de diferenças-finitas, dentro do mesmo nível de precisão.

In this work, we show that the wave equation solution using a conventional finite-difference scheme, derived commonly by the Taylor series approach, can be derived directly from the rapid expansion method (REM). Then, we show that if we use more terms from the REM one obtain a more accurate time integration of the wave field. Consequently, we have demonstrated that the REM is more accurate than the usual finite-difference schemes and it provides a wave equation solution which allows us to march in large time steps without numerical dispersion and is numerically stable. We also analyze the behavior of the Chebyshev and Taylor series coefficients to approximate the cosine function which appears in the analytical solution of the wave equation in time. The method is illustrated with pos and pre-stack migration results and it is shown that the REM for the time stepping combined with pseudo spectral operators for the spatial derivatives can be used to obtain numerically stable results with less computational effort than a conventional finite difference time stepping approach for the same level of accuracy.

Propomos um novo método de migração em profundidade baseado na solução da equação da onda com densidade constante no domínio da freqüência. Uma aproximação de Padé complexa é usada para aproximar o operador de evolução aplicado na extrapolação do campo de ondas. Esse método reduz as imprecisões e instabilidades devido às ondas evanescentes e produz imagens com menos ruídos numéricos que aquelas obtidas usando-se a aproximação de Padé real para o operador exponencial, principalmente em meios com fortes variações de velocidades. Testes em dados de afastamento nulo do modelo de sal SEG/EAGE e nos dados de tiro comum 2-D Marmousi foram realizados. Os resultados obtidos mostram que o método de migração proposto consegue lidar com fortes variações laterais e também tem uma boa resposta para refletores com mergulhos íngremes. Os resultados foram comparados àqueles resultados obtidos com os métodos split-step Fourier (SSF), phase shift plus interpolarion (PSPI) e Fourier diferenças-finitas (FFD).

We propose a new method of depth migration based on a constant density variable velocity wave equation in the space-frequency domain. A complex Padé approximation of the wave equation evolution operator is used for wavefield extrapolation. This method mitigates the inaccuracies and instabilities due to evanescent waves and produces images with fewer numerical artifacts than those obtained with a real Padé approximation of the exponential operator, mainly in media with strong velocity variations. Tests on zero-offset data from the SEG/EAGE salt model and the 2D Marmousi prestack dataset show that the proposed migration method can handle strong lateral variations and also has a good steep dip response. We compare the results of the proposed method with those obtained using split-step Fourier (SSF), phase shift plus interpolation (PSPI) and Fourier finite-difference (FFD) methods.

Recentemente novos métodos de migração utilizando ondas planas têm sido desenvolvidos com o intuito de aumentar a eficiência computacional da etapa de extrapolação dos campos de ondas durante o processo de migração. Nesses métodos os dados de fonte pontual são sintetizados em registros de fontes de ondas planas antes do processo de migração. Em seguida, os campos de ondas planas resultantes podem ser migrados usando qualquer um dos esquemas de extrapolação utilizados nas migrações convencionais de tiro comum. Assim, a migração de ondas planas consegue reduzir o número de extrapolações durante o processo de migração, uma vez que a extrapolação não é mais feita para todos os tiros individualmente, mas apenas para as seções de ondas planas sintetizadas. Na migração de ondas planas faz-se necessário também a continuação para baixo do campo de onda da fonte, que no caso é uma onda plana, bem como a depropagação dos campos de ondas planas sintetizados. Com este trabalho buscamos melhorar ainda mais a eficiência computacional do método de migração de ondas planas e, para tanto, estamos propondo a sua implementação através de operadores de propagação baseados na Teoria Assintótica do Raio. A nossa versão Kirchhoff de migração para dados sísmicos sintetizados em onda planas é implementada utilizando os tempos de trânsito tanto da onda plana como da fonte pontual, calculados através da solução da equação Iconal, usando-se a apropriada condição inicial. Também através do uso da Teoria Assintótica do Raio, a migração de ondas planas do tipo Kirchhoff pode ser estendida para tratar de meios com modelos de velocidades estruturalmente complexos, sem nenhuma limitação quanto à inclinação dos refletores. O novo método de migração Kirchhoff de dados de fonte de ondas planas é testado e sua aplicabilidade demonstrada usando-se os dados sintéticos 2D SEG-EAGE e também uma linha sísmica real do Golfo do México. Os resultados apresentados são bastante satisfatórios, comparáveis aos obtidos pela migração Kirchhoff, e conseguidos a um custo computacional menor do que o da migração Kirchhoff de tiro comum convencional.

We present a migration method for plane wave source data based on the Kirchhoff integral. Plane wave migration has been employed to increase the efficiency of the wavefield extrapolation. Point source records are synthesized into a plane wave and the resulting plane wave data can be migrated using the same scheme as the one for conventional shot-record migration. Plane wave migration reduces the migration computation time, because the extrapolation does not need to be done for all the individual shot records, but only for the constant plane wave sections. Here we have developed a version of the plane wave migration method based on the Kirchhoff integral. To calculate the traveltimes for the point source and also for plane wave we used a eikonal solver. Once all plane waves section are migrated independently of the others, the final image is obtained by stacking all common images gathers. Integral methods are easier than the wave equation methods to adapt to different recording geometries and also allow large and small models to be treated in the same way. Also, with the aid of the Asymptotic Ray Theory (ART), integral methods can be extended to handle arbitrary velocity structures without any dip limitation. In this paper the SEG-EAGE salt model example and a real dataset from Gulf of Mexico are used to test the theory and show that Kirchhoff plane wave depth migration can produce images comparables in quality to those obtained with Kirchhoff migration and also a reduced computation cost when comparable with the Kirchhoff migration of common shot gathers.

As equações da onda unidirecionais com amplitude verdadeira, propostas nos trabalhos mais recentes, levam em conta de forma correta a parte cinemática e dinâmica da equação completa da onda equivalentemente às obtidas a partir da aproximação de altas freqüências. Isto é, as equações iconal e de transporte obtidas para estes operadores se correspondem com as obtidas com a equação completa da onda. Num meio com variação lateral de velocidade, a implementação das equações unidirecionais com amplitude verdadeira envolve o cálculo numérico de operadores integro-diferenciais que podem ser aproximados por somatórios e resolvidos por técnicas de diferenças finitas. Para um meio que varia somente com a profundidade, as novas equações unidirecionais com amplitude verdadeira podem ser solucionadas através do tradicional método phase-shift , e as novas condições de fronteira e de imagem se reduzem a multiplicações no domínio de Fourier. Neste trabalho estamos propondo estender a migração phase-shift com amplitude verdadeira para meios com variação lateral v(x,z), através da metodologia Phase shift plus interpolation (PSPI). Experimentos numéricos no domínio de tiro comum com o novo método PSPI com amplitude verdadeira e sua extensão split-step (PSPI-SS), produzem imagens com amplitudes mais corretas em relação aos operadores unidirecionais convencionais, enquanto as características cinemáticas da migração PSPI e PSPI-SS são preservadas.

The true-amplitude one-way wave equation suggested recently is both dynamically and kinematically correct. This one-way wave equations produces accurate traveltime in accordance to the eikonal equation and accurate amplitudes in accordance to the transport equation for the two-way wave equation. In laterally inhomogeneous media the implementation of this true-amplitude one-way wave equation involves the numeric calculation of a differential-integral operator that can be approximated by summation and solved by finite-difference methods. In only depth-dependent media, the new term in the one-way wave equation can be eliminated and the new one-way wave equations can be solved using the conventional phase-shift method with the appropriated boundary and imaging condition, reduced to products in the Fourier domain. Here, we present an extension of phase shift plus interpolation (PSPI) migration for true-amplitude migration based in the phase-shift true-amplitude migration developed in depth-dependent media. Numerical tests in the common shot domain with the new PSPI true-amplitude method and the Extended split-step PSPI-SS proposed were compared with the output of the conventional PSPI and PSPI-SS. The imaging quality in relation to amplitude is better with the proposed methods and the kinematic part is preserved.

Neste trabalho apresentamos a aplicação do operador de extrapolação em profundidade em duas etapas com interpolação (PSPI-SS), operador que faz uso da correção Split-Step em cada passo de extrapolação, conjuntamente com a condição de imagem de tempo de excitação, para realizar a migração pré-empilhamento em profundidade de dados sísmicos ordenados em famílias de tiro comum. Os métodos de migração pré-empilhamento que realizam a extrapolação dos dados ao longo dos receptores e a continuação para baixo das fontes sísmicas com operadores diferentes, são chamados de métodos híbridos de migração. Nesses métodos o campo de onda de cada fonte sísmica é determinado através do cálculo dos tempos de chegada da fonte a partir da aproximação de alta freqüência. Aqui utilizamos apenas os tempos das primeiras chegadas, que são calculados a partir da solução da equação iconal por diferença finitas (TGRID), por um método puramente geométrico (FAST) e também pelo método de traçamento de raios paraxiais (PARAX). Na implementação proposta, o campo de velocidades usado para o cálculo dos tempos de chegada precisa ser suavizado e o seu grau de suavização é determinado a partir dos resultados apresentados pela migração convencional Kirchhoff. A extrapolação dos dados dos receptores é feita usando-se o campo de velocidades original sem nenhuma suavização, através do operador PSPI-SS. Para testar os novos métodos de migração usamos os dados sintéticos Marmousi e também um conjunto de dados reais do Golfo do México. Os resultados das migrações com os métodos híbridos apresentaram imagens de boa qualidade, mostrando-se superiores a obtida pela migração Kirchhoff e comparáveis à fornecida pelo método PSPI-SS completo (operador PSPI-SS tanto para os tiros como para os receptores), com um desempenho computacional superior ao obtido com o método PSPI-SS completo.

This paper shows the application of Phase Shift Plus Interpolation Split-Step (PSPI-SS) wavefield extrapolation operator coupled with the excitation-time imaging condition to perform prestack seismic depth migration of common shot profiles. The migration methods which are characterized by the use of different propagators for the source and receiver wavefields are called hybrid migration methods. Normally, the source wavefield is determined by the computation of the traveltimes from the solution of the eikonal equation. Here the traveltimes were calculated based on a finite difference solution of the eikonal equation (TGRID), a simple geometrical approach (FAST) and also by the paraxial ray tracing method (PARAX). For the extrapolation of the receiver data we applied the PSPI Split-Step operator, that is derived from the conventional Split-Step wave equation method using multiple references velocity. As the source traveltime computation is based on the ray assintotic theory the velocity field needs to be smoothed and the migration results obtained with the Kirchhof migration method, that is a very fast migration procedure, was used to choose the best level of smoothing of the velocity field. In this work the synthetic Marmousi data and a real dataset from Gulf of Mexico were used to test the migration methods proposed here. The migration results with the hybrid methods shown better images in quality then the kirchhoff's results and comparable to those obtained with the full PSPI-SS migration method, but a low computation cost.

A migração pré-empilhamento de seção de tiro comum baseada na equação da onda tem produzido imagens sísmicas de excelente qualidade. Entretanto, este processo exige uma alta demanda computacional, principalmente em aplicações sísmicas 3-D, e seu alto custo impede o seu uso no dia-a-dia do processamento sísmico. Assim, métodos que reduzem o número de migrações requeridas para um experimento sísmico completo, como a migração de onda planas, são bastante atrativos no processamento de dados sísmicos. Os métodos de migração de ondas planas podem produzir imagens de alta qualidade, comparável às fornecidas pela migração de tiro comum com um menor custo computacional. A migração 2-D pré-empilhamento implementada neste trabalho é realizada sobre seções de parâmetro de raio constante, obtidas através da decomposição dos dados ordenados em famílias de receptor comum, aplicando-se a transformada tau-p. Em seguida, essas seções de ondas planas são extrapoladas em profundidade usando-se operadores de extrapolação Split-Step. No processo de migração, as imagens sísmicas em profundidade são obtidas somando-se as freqüências de interesse de todas as seções de parâmetro de raio migradas. 0 método de ondas planas foi testado com sucesso em dois conjuntos de dados sísmicos sintéticos. Os resultados alcançados com este novo método de migração de ondas planas são comparáveis aos fornecidos pela migração de tiro comum e possibilitando assim a obtenção de imagens de subsuperfície de boa qualidade a um baixo custo computacional.

The prestack migration of common-shot section based on the wave equation has produced high quality seismic images. However, for a 3-D dataset, this process involves a huge number of computational operations and its high cost impedes its daily use in data processing. Methods that can reduce the number of migrations, as plane wave migration, requested for a complete seismic experiment, are very attractive, mainly, in the 3-D seismic data processing. Plane wave migration can also produce high quality images that are comparable to those of shot migration with much less computational cost. The prestack plane wave migration implemented in this work is applied along constant ray parameter sections, obtained through the decomposition of the data arranged in common receiver gathers taking by the Slant-Stack transform. Then these sections are extrapolated in depth using the Split-Step extrapolation operator. The images in depth are obtained by summing all frequencies of interest from all migrated constant ray parameter sections. The source plane wave method was applied in two synthetic seismic datasets and the results achieved with the new migration method simulating a plane wave source has produced good quality subsurface images, comparable with those from common-shot gathers migration with a lower computational cost.

Três métodos de migração 2-D pré-empilhamento em profundidade usando operadores de extrapolação "split-step" foram desenvolvidos e testados em dados sísmicos ordenados em famílias de tiro comum. No primeiro método, chamado de migração "split-step" simultâneo (SS-S), a migração é realizada simultaneamente para as fontes e receptores usando-se operadores de extrapolação do tipo "split-step". Os dados registrados nos receptores são depropagados em profundidade e a propagação da fonte é simulada utilizando-se operadores "split-step" em ambos os procedimentos. A imagem final, ou seção migrada em profundidade, é obtida somando-se todas as freqüências de interesse durante o processo de correlação dos campos propagados e depropagados, para cada nível de profundidade e somando-se todos os tiros migrados. Visando diminuir o tempo computacional do método de migração SS-S, implementamos um segundo método, cujo cálculo dos tempos da fonte é realizado através da solução por diferencias finitas da equação iconal. Este segundo método é referido como método híbrido (SS-H). O terceiro método de migração desenvolvido e implementado é o resultado da combinação dos métodos SS-S e "Phase-shift Plus Interpolation" (PSPI). Neste caso, os campos de ondas são depropagados para diferentes velocidades e interpolados, como no método PSPI convencional. Ele é aqui denominado de método PSPI-SS. Quanto à escolha do operador de extrapolação "split-step" se deve, principalmente, à sua facilidade de implementação computacional e por apresentar imagens migradas de boa precisão e, também, pela sua robustez, mesmo em situações de forte contraste lateral de velocidade. Os resultados apresentados neste trabalho foram obtidos usando-se dados sintéticos, gerados a partir dos modelos Marmousi e EAGE/SEG, modelos em profundidade que apresentam uma alta complexidade geológica. Os resultados foram comparados entre si e os três métodos apresentaram imagens migradas bastante satisfatórias.

Three 2D prestack depth migration techniques using split-step extrapolation operators were developed and tested on seismic data sorted into common shot gathers. In the first method, which we name simultaneous split-step migration (SS-S), the migration procedure is carried out simultaneously for the sources and receivers. The recorded receiver data are depropagated in depth and the source wavefield is downward propagated using the split-step operators for both. The final depth section is achieved by summing all the frequencies of interest after the correlation of the propagated and depropagated wavefields, for each depth level and by the sum of all migrated shot gathers. To decrease the computational time of the SS-S method, we can calculate the source wavefield's through a finite difference solution of the eikonal equation. This second method we call the hybrid split-step migration method (SS-H). In the third migration method, we combine the SS-S with the PSPI method. In this case the wavefields are depropagated using split-step operators for different velocities and then interpolated as in the PSPI method. We called this method PSPI-SS. The choice of the split-step operator for migration is mainly due to its easy implementation, high accuracy and robustness even in situations with very strong lateral velocity variation. The results we present in this work were obtained using the Marmousi data and also the SEG-EAGE salt model, which present very high geologic complexity. The results obtained with the three differentes methods were compared and all show satisfactory images.